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從數(shù)學(xué)高考改革的角度看
2024年適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷
北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授 劉和平：
新高考改革第四批七省區(qū)將于2024年進(jìn)入文理不分科的數(shù)學(xué)新高考模式。隨著新高考改革的全面鋪開，數(shù)學(xué)高考的改革是否會進(jìn)一步展開，受到考生、教師和家長們的關(guān)注。最近進(jìn)行的適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷啟示我們，數(shù)學(xué)高考的改革永遠(yuǎn)在路上。
與近幾年數(shù)學(xué)的全國新課標(biāo)卷相比，數(shù)學(xué)測試卷最明顯的一個(gè)變化是題目數(shù)量的減少，其中單項(xiàng)選擇題數(shù)量不變，還是8個(gè)小題，多項(xiàng)選擇題、填空題和解答題各減少1個(gè)小題，多項(xiàng)選擇題和填空題分別由4個(gè)小題減少到3個(gè)小題，解答題由6個(gè)小題減少到5個(gè)小題，考生的作答時(shí)間隨之變得更加充分。適當(dāng)減少試題數(shù)量，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思維過程的考查，數(shù)學(xué)測試卷體現(xiàn)的這個(gè)改革思路方向是正確的，具體實(shí)踐措施是恰當(dāng)?shù)模瑧?yīng)該給予充分肯定。鑒于高考改革的高關(guān)注度和高敏感性，如果在今后數(shù)學(xué)高考中有這樣一個(gè)變化，其改革力度是比較大的。因此，這次數(shù)學(xué)測試非常值得關(guān)注。
我們先對數(shù)學(xué)測試卷中不同題型的題目做一些具體分析。
與近幾年數(shù)學(xué)的全國新課標(biāo)卷相比，測試卷單項(xiàng)選擇題數(shù)量和分值保持不變，但結(jié)構(gòu)有所變化。測試卷打破常規(guī)，第1、2題分別考查樣本中位數(shù)與橢圓離心率。第1-6題都是考查基礎(chǔ)知識與基本概念，有利于提升低分考生的成績，對控制整卷試題難度起到很好的作用。測試卷第7題考查三角函數(shù)的倍角公式，有一定計(jì)算量；第8題考查雙曲線的離心率，需要從雙曲線的定義出發(fā)進(jìn)行分析，對直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有一定要求，兩道題難度適中。總體上，測試卷單項(xiàng)選擇題強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法，在難度上有很好的控制。
測試卷多項(xiàng)選擇題由4個(gè)小題減少到3個(gè)小題，每小題的分值由5分提高到6分，總體分?jǐn)?shù)占比略有減少，但變化不大。多項(xiàng)選擇題是近年來高考改革的一個(gè)成果，其特點(diǎn)是，選對一個(gè)選項(xiàng)的難度較低，選對全部選項(xiàng)的難度整體高于單項(xiàng)選擇題，且完成題目的工作量和做錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)有所增加，這有利于將水平較高的考生區(qū)分出來，但分值與單項(xiàng)選擇題的分值相同在一定程度上有不合理之處。測試卷多項(xiàng)選擇題的這個(gè)分值變化是符合實(shí)際的。近幾年數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷的4個(gè)多項(xiàng)選擇題一般有2個(gè)小題相對容易，2個(gè)小題相對困難。測試卷第9題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，第10題考查復(fù)數(shù)，是相對容易的多項(xiàng)選擇題，第11題考查抽象函數(shù)，是相對困難的多項(xiàng)選擇題。與近幾年數(shù)學(xué)新高考全國試卷相比，多項(xiàng)選擇題減少了1個(gè)相對困難的小題，總體難度有所降低。第11題的解答過程應(yīng)該是由題目條件得到f(0)=?1，再進(jìn)一步得到f(-1/2)=0，由此導(dǎo)出f(x-1/2)的表達(dá)式，最后得到f(x)的表達(dá)式。有關(guān)抽象函數(shù)的試題很多都是在奇偶性、周期性的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)，類似題目多了難以避開程式化的誤區(qū)。第11題設(shè)計(jì)新穎，敘述簡潔，選項(xiàng)設(shè)置符合題目內(nèi)在邏輯，且形式優(yōu)美對稱，是試題規(guī)范性的極好示例。
測試卷填空題由4個(gè)小題減少到3個(gè)小題，每小題的分值不變，總體分?jǐn)?shù)占比減少。填空題的一個(gè)特點(diǎn)是，一些與知識和能力相關(guān)較少的偶然性失誤卻可能對正確答題產(chǎn)生影響，導(dǎo)致得分率降低。減少填空題分?jǐn)?shù)占比，對降低試卷難度有正面作用。測試卷第12題考查集合，第13題考查圓錐和球的體積與表面積，第14題考查不等式組，3個(gè)題都不涉及復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算和化簡，降低了偶然失誤的概率。3個(gè)題中只有第14題是相對困難的題目，填空題的總體難度有較好的控制。第14題討論的一類最大最小問題在實(shí)際應(yīng)用中具有普遍性，題目中的條件b≥2a或a+b≤1來自于實(shí)際問題。如果單純從數(shù)學(xué)的角度，在上面兩個(gè)條件中任取其一，已經(jīng)可以構(gòu)成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)問題。這個(gè)題目雖然沒有直接指明應(yīng)用的背景，但實(shí)際上體現(xiàn)了試題的應(yīng)用性。
測試卷解答題由6個(gè)小題減少到5個(gè)小題，雖然題目數(shù)量減少，但每小題的分值和總的分?jǐn)?shù)占比都增加了，實(shí)際上對數(shù)學(xué)思維過程的考查得到了加強(qiáng)。測試卷第15、16、17題注重基礎(chǔ)性，強(qiáng)調(diào)通性通法，難度適中，有利于考生發(fā)揮，也保持了測試卷的整體平穩(wěn)性。其中第15題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，近幾年數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷未曾以這方面知識作為第一個(gè)解答題的考查內(nèi)容，測試卷在這方面打破了常規(guī)；第16題考查概率，情境設(shè)置較為新穎，相比常見概率試題有所創(chuàng)新；第17題可以看作常規(guī)的立體幾何解答題。測試卷第18、19題更加注重綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，這兩個(gè)題分值最高，試題容量明顯增大，對學(xué)科核心素養(yǎng)的考查也更深入。兩個(gè)題有各自特點(diǎn)，不適用以傳統(tǒng)“壓軸題”的想法看待其中某一個(gè)題。第18題以拋物線為基本情境，第（1）問的考查內(nèi)容屬于解析幾何中的通性通法，第（2）問如果仍使用解析幾何的常規(guī)方法，將導(dǎo)致非常復(fù)雜的計(jì)算，可行的解法需要將所求三角形的面積轉(zhuǎn)換為一個(gè)適合計(jì)算的四邊形面積，然后由基本不等式得到解答。這個(gè)解法的關(guān)鍵步驟雖然屬于初中數(shù)學(xué)學(xué)過的平面幾何知識內(nèi)容，但對學(xué)科核心素養(yǎng)之一的直觀想象有很高的要求，能綜合運(yùn)用不同的幾何方法解決問題也是學(xué)科核心素養(yǎng)水平的重要體現(xiàn)。第19題的試題情境是在密碼學(xué)理論中有重要地位的蓋莫爾（ElGamal）加密體制。在大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)安全問題越來越受到重視。蓋莫爾公鑰密碼體制是在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行保密通信和數(shù)字簽名的有效安全算法，應(yīng)用十分廣泛，其數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)就是題目中討論的離散對數(shù)。在蓋莫爾公鑰密碼體制的情境下，題目中的x是明文，p，a，b是公鑰，離散對數(shù)n是密鑰，（y1，y2)是對x加密得到的密文，由(y1，y2)得到x是解密。對于充分大的素?cái)?shù)p和適當(dāng)?shù)腶，求解離散對數(shù)是困難的，但其逆運(yùn)算（離散指數(shù)運(yùn)算）可以用平方-乘算法快速有效地進(jìn)行計(jì)算，這是蓋莫爾公鑰密碼體制安全有效性的依據(jù)。第19題考查的數(shù)學(xué)內(nèi)容是指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算以及指數(shù)與對數(shù)的互逆運(yùn)算，其中第（2）問是證明離散對數(shù)形式上滿足普通對數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，第（3）問本質(zhì)上是進(jìn)行離散指數(shù)運(yùn)算。然而更重要的是對邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng)的考查。離散對數(shù)與普通對數(shù)的本質(zhì)差別在于同余運(yùn)算。同余的概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中非常重要的概念，對同余問題的研究也是中國優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的重要部分（如著名的中國剩余定理）。題目中沒有明確引入同余的概念，僅僅使用了余數(shù)概念，這是在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)過的概念。題目中附加了條件1，a，a2,?，...，ap-2,?兩兩不同，在這個(gè)限制條件下不需要一般形式的費(fèi)馬小定理，簡化了問題敘述，降低了題目難度，通過第（1）問又進(jìn)一步對ap-1,?=1給出啟發(fā)性提示。這樣的處理符合多數(shù)考生的實(shí)際知識水平和認(rèn)知能力。第（3）問中的隨機(jī)常數(shù)k完全來自于實(shí)際應(yīng)用，對每一條明文x使用隨機(jī)選取的k是安全性的必要保證。
現(xiàn)在我們簡要概括測試卷的總體特點(diǎn)。首先，測試卷減少了試題數(shù)量，增加了解答題的分?jǐn)?shù)占比，對數(shù)學(xué)思維過程的考查有所加強(qiáng)。由于試題數(shù)量減少，考查知識內(nèi)容的覆蓋面受到一定影響，測試卷著重考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求，不受限于對某些具體知識內(nèi)容的考查。測試卷很好地控制了試題難度，賦分更加合理，減輕了考生負(fù)擔(dān)。測試卷靈活改變試題順序，防止猜題押題，鼓勵考生注重素質(zhì)教育，消除應(yīng)試教育的弊端。可以說，適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷對可能的數(shù)學(xué)高考改革做了一次有益的探索，值得關(guān)注。總結(jié)它的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐效果，讓我們對今后的數(shù)學(xué)高考改革充滿期待。
清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系教授 文志英：
2024年適應(yīng)性測試考題類型比例略有調(diào)整，主要調(diào)整如下：（1）減少全卷的題量，特別是減少了解答耗時(shí)較多的多項(xiàng)選擇題和考生較難得分的填空題。同時(shí)減少了解答題的數(shù)量。全卷由過去的22個(gè)題減少到19個(gè)題。（2）增加了多選題的單題分值和解答題的總分值，強(qiáng)化了對思維過程和思維能力的考查。
調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)的主要目的是給學(xué)生更多的思考時(shí)間，從而加強(qiáng)對思維能力的考查。由于調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)以后整卷題量減少，更有利于考生發(fā)揮創(chuàng)新能力——特別是在解答題中加強(qiáng)對思維的考查，也有利于提升壓軸題的思維量與難度，注重考查思維過程和思維品質(zhì)，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選拔。
考題的順序安排也打破常規(guī)，有所變化。2024年測試卷的試卷結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是靈活、科學(xué)地確定試題的內(nèi)容、順序和難度。與以往試題相比，各個(gè)題目的考查內(nèi)容、排列順序進(jìn)行了大幅度的調(diào)整，以往壓軸的函數(shù)試題在測試卷安排在解答題的第1題，難度大幅度降低；概率與統(tǒng)計(jì)試題也降低了難度，安排在解答題的第2題；在壓軸題安排了新情境試題。這些變化對于打破學(xué)生機(jī)械應(yīng)試的套路模式，對促使學(xué)生全面掌握主干知識、提升基本能力具有積極的導(dǎo)向作用。
通過調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)，力圖實(shí)現(xiàn)能力考查的目標(biāo)，助力拔尖創(chuàng)新人才的選拔和培養(yǎng)；同時(shí)引導(dǎo)中學(xué)課堂教學(xué)改變機(jī)械訓(xùn)練和相對固化的復(fù)習(xí)備考模式，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性思維多角度分析解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識，從而使學(xué)校教育真正落實(shí)新課程理念，助力學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展。
由于全卷題量減少，不可能覆蓋高中數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容，所以適應(yīng)性測試精選學(xué)科主干內(nèi)容，加強(qiáng)對基本概念、基本思想、基本方法的考查，杜絕偏題、怪題和繁難試題。而且難題也都難在主干內(nèi)容和重要原理、方法上。突出高考對中學(xué)教學(xué)的引導(dǎo)作用，重點(diǎn)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律，突出數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)。重視教材，重視概念，夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，給學(xué)生留出思考和深度學(xué)習(xí)的空間。避免超綱超量學(xué)，助力減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，進(jìn)一步促進(jìn)素質(zhì)教育發(fā)展。
試題難度比2023年適應(yīng)性測試卷低，主要體現(xiàn)在中等考生得分可以提高，這種提高的來源是將原來多項(xiàng)選擇題與填空題改變?yōu)楦訌?qiáng)調(diào)基本概念和基本技能的題目，這一改變是合理的。這些變化雖然增加了部分考生的得分率，但不影響一般考生，特別是優(yōu)秀考生的得分率。
整卷難度結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)主旨是使試卷的整體難度更加適合考生水平，使考生創(chuàng)建良好的答題心態(tài)，充分展現(xiàn)自己的真實(shí)水平。單選題難度適中，考生入手更加容易，做題過程更加順暢。多選題降低難度的措施，是簡化計(jì)算，試題一般是在同一條件進(jìn)行的推理和計(jì)算，同時(shí)各選項(xiàng)有一定的銜接和承續(xù)。中檔題的難度平緩，解答題的前三個(gè)題學(xué)生都能上手，中等學(xué)生基本都能完成。最后兩個(gè)壓軸題保持較高的難度、能力要求和思維要求，以保持對高分段考生良好的區(qū)分，并且分值由過去的12分增加到17分，占分比例和重要性顯著增加。由于整體難度的調(diào)整，考查思路的變化，需要考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去分析、解決問題，綜合考查考生的邏輯推理能力，對考生運(yùn)用所學(xué)知識找到合理的解題策略提出了較高要求，突出了選拔功能。
2024年適應(yīng)性測試通過改變題目的設(shè)計(jì)思路與風(fēng)格，力圖有效地遏制猜題押題、題海戰(zhàn)術(shù)的蔓延。基礎(chǔ)題只要掌握基礎(chǔ)知識、基本原理，就能解決，無需刷題。創(chuàng)新題新穎、靈活、不落俗套，脫離一般的解題套路。試卷打破了試題題型、命題方式、試卷結(jié)構(gòu)的固有模式，增強(qiáng)試題的靈活性，采取多樣的形式、多角度的提問，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而不僅是學(xué)生刷題和訓(xùn)練的技巧，引導(dǎo)基礎(chǔ)教育扎實(shí)實(shí)施素質(zhì)教育。
北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，教育部高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組成員 保繼光：
2024年適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷在整體上延續(xù)了全國新課標(biāo)卷的單選題、多選題、填空題、解答題的結(jié)構(gòu)。但是，總題數(shù)從22個(gè)變成了19個(gè)，減少了13.6%。除單選題的個(gè)數(shù)和分?jǐn)?shù)（8個(gè)，40分）不變外，其他題型在個(gè)數(shù)和分?jǐn)?shù)上均有所調(diào)整，將原來的4個(gè)多選題（20分）、4個(gè)填空題（20分）、6個(gè)解答題（70分）分別減少為3個(gè)多選題（18分）、3個(gè)填空題（15分）、5個(gè)解答題（77分），其中只有解答題增加了分?jǐn)?shù)。
一是引導(dǎo)考生“多想少算”，有利于考查理性思維和核心素養(yǎng)的水平，符合國家對高考改革的要求。
在《深化新時(shí)代教育評價(jià)改革總體方案》中，對高考的命題改革有明確的要求：改變相對固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象。這次題數(shù)的減少和分?jǐn)?shù)的調(diào)整就是一個(gè)實(shí)實(shí)在在落實(shí)這個(gè)方案的科學(xué)舉措，與新高考改革的方向是一致的。
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。在高考命題中，要合理設(shè)置題量，給學(xué)生充足的思考時(shí)間；逐步減少選擇題、填空題的題量；適度增加試題的思維量。在命題中，應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)的能力。因此，在考試時(shí)間不變的情況下，減少試題數(shù)量是加強(qiáng)思維考查的必然手段。
基于《中國高考評價(jià)體系》，數(shù)學(xué)高考考查考生理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化4類學(xué)科素養(yǎng)，以及邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力5種關(guān)鍵能力。人們通常把數(shù)學(xué)知識當(dāng)作數(shù)學(xué)，其實(shí)是一種誤解，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是以懂多少數(shù)學(xué)公式為目標(biāo)，而是要鍛煉解決問題的過程中所用到的思維方法，也就是數(shù)學(xué)思維。有數(shù)學(xué)思維的人，不僅做事有條理，而且擅長獨(dú)立思考，更能多角度開辟思維點(diǎn)，進(jìn)行逆向思考。這正是未來培養(yǎng)高科技人才的需要。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，為服務(wù)國家戰(zhàn)略發(fā)展，就是要通過高考把真正的創(chuàng)新型人才給篩選出來。另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正的目的也是培養(yǎng)一種思維習(xí)慣，無論人們?nèi)蘸髲氖潞畏N行業(yè)，這些思維習(xí)慣都能讓他們受益。所以，思維的考查理所當(dāng)然地是數(shù)學(xué)高考的重中之重。
多年來，數(shù)學(xué)高考一直強(qiáng)調(diào)“多想一點(diǎn)，少算一點(diǎn)”的理念，從重考查知識回憶向重考查思維過程轉(zhuǎn)變。在測試卷中，這一理念在解析幾何的考核中體現(xiàn)得極其充分。第18題第（1）問略顯常規(guī)，主要考查了考生拋物線的基本知識和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。通過引入直線l的斜率作為參數(shù)，借助熟知的韋達(dá)定理，得到M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線MN的方程，從而證明了MN過定點(diǎn)（3，0）。第（2）問設(shè)計(jì)巧妙，很有技術(shù)含量，“想得到”與“想不到”計(jì)算量相差懸殊。如果考生趕進(jìn)度，不加思考地延續(xù)第1問的思路，先求A、B、D、E四點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線AE、BD的方程及其交點(diǎn)G的坐標(biāo)，再寫出三角形GMN面積的表達(dá)式以求得最小值，那么作答的計(jì)算量超大，很難最終完成解答。若考生在緊張的高考中能夠“停一停、想一想”，巧妙地結(jié)合平面幾何中三角形面積的性質(zhì)，采用等量代換的方法，就能獲得S△GMN=S四邊形ADMN，從而比較輕松地完成三角形GMN面積最小值的求解。這樣的命題方式提醒考生“多想少算”，考查了思維能力，有效地避免了以前在解析幾何的考核中計(jì)算量“居高不下”的現(xiàn)象，并且在考查考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的同時(shí)也考查了邏輯推理素養(yǎng)，也比較自然地體現(xiàn)了各核心素養(yǎng)的交融性。
這樣的改革是在明明白白地昭告天下，高考要選拔的是會動腦的考生，靠“刷題”備考，沒有真正理解內(nèi)在規(guī)律的考生將越來越難以得到高分。在教學(xué)過程中，過去教給學(xué)生的更多是拿到題，能馬上在記憶深處找到知識的答案。現(xiàn)在的高考不是考學(xué)生記住了哪些知識點(diǎn)，而是考查學(xué)生解決問題的能力，考查學(xué)生的思維，這個(gè)趨勢越來越明顯。死記硬背的教學(xué)方式已經(jīng)無法再適應(yīng)現(xiàn)在高考的新要求。
二是引導(dǎo)考生從小處著手，掌握基本概念和常規(guī)計(jì)算；從大處著眼，建構(gòu)高中數(shù)學(xué)的知識體系。
2024年測試卷各個(gè)主題的題目數(shù)量和分值比例大致與課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的課時(shí)一致（函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)分別約占40%、40%、20%），符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：在數(shù)學(xué)高考的命題中，要關(guān)注試卷的整體性和內(nèi)容的分布。
測試卷題目的設(shè)置層次遞進(jìn)有序，難度結(jié)構(gòu)合理，大部分為常規(guī)題目。中低難度的題目平和清新，重點(diǎn)突出；高難度的題目不偏不怪，中規(guī)中矩，體現(xiàn)了良好的區(qū)分性。第1、2、3、4、10、12、15題（共44分）屬于簡單題，主要考查基本概念和基本運(yùn)算。特別是，第1題考查樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，第10題考查復(fù)數(shù)的共軛運(yùn)算，既是基本內(nèi)容，又略顯新穎。第5、6、7、9、11、13、16、17題（共62分）屬于中等難度的題目，主要考查常規(guī)的計(jì)算和推理。特別是，第9題的選項(xiàng)B“曲線y=f（x）的對稱軸為x=kπ，k∈Z”，需要考生認(rèn)真的數(shù)學(xué)閱讀和清醒的邏輯判斷，搞清楚與“x=kπ，k∈Z為曲線y=f（x）的對稱軸”的區(qū)別。這兩類題目（共計(jì)106分，占比略高于70%）設(shè)問方式清晰明了，解題入口自然熟悉，閱讀量與計(jì)算量不大，注重基本知識和通性通法的考查，考生比較容易完成解答。
高考是合格的高中畢業(yè)生或具有同等學(xué)歷的考生參加的選拔性考試，承擔(dān)著為國選才的重任。在測試卷中必然包含較難和很難的題目，以增加區(qū)分度，使得高水平的考生脫穎而出。第8、14題分別是選擇題、填空題的最后一題，考查雙曲線的相關(guān)知識和不等式的邏輯推理，有相當(dāng)?shù)挠?jì)算量。最后的第19題引入在密碼學(xué)中有重要應(yīng)用的離散對數(shù)，重點(diǎn)考查考生數(shù)學(xué)閱讀、獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)表達(dá)等關(guān)鍵能力。在題干中給出“離散指數(shù)”“離散對數(shù)”既熟悉又陌生的概念以后，第（1）問旨在讓考生熟悉“離散指數(shù)”的概念；第（2）問請考生證明普通對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)log（bc）=logb+logc在“離散對數(shù)”情形的一個(gè)類似；第（3）問進(jìn)一步證明“離散對數(shù)”的一個(gè)性質(zhì)（這時(shí)應(yīng)假設(shè)p＞2）。試題任務(wù)所驅(qū)動的不是單純的舊知識記憶和理解，而是關(guān)注了新概念的引入、理解、探究和表達(dá)。這個(gè)題目對于絕大多數(shù)考生來說是困難的。
測試卷強(qiáng)調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過設(shè)置綜合性的題目，引導(dǎo)考生在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建出學(xué)科知識體系框架，進(jìn)而將這些知識、方法等內(nèi)化進(jìn)自身的知識結(jié)構(gòu)之中。第6、8題分別在考查直線、雙曲線的基本知識的同時(shí)，自然地融入了向量的內(nèi)容。
測試卷重視考查學(xué)科主干知識，沒有偏題、怪題，大膽減少了試題個(gè)數(shù)，調(diào)整了分?jǐn)?shù)分布，呈現(xiàn)了穩(wěn)中求變的狀態(tài)，從注重考查記憶理解的結(jié)果，到注重考查思維過程、探究過程和做事過程的發(fā)展水平。測試卷可以引導(dǎo)教學(xué)重心從重結(jié)果回到重過程，讓學(xué)生的思維能力培養(yǎng)、探究能力培養(yǎng)和做事能力培養(yǎng)成為最重要的教學(xué)任務(wù)。在問題解決和知識體系構(gòu)建過程中，使學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)思維活動的經(jīng)驗(yàn)，從數(shù)量關(guān)系和空間形式的視角描述和理解事物的規(guī)律。
堅(jiān)持課程改革方向，凸顯學(xué)科育人價(jià)值
華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院院長、教授 呂長虹：
測試卷以高中數(shù)學(xué)必修課程和選擇性必修課程內(nèi)容為載體，秉承立德樹人根本任務(wù)，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)考查，試題難度適中，計(jì)算量小，注重?cái)?shù)學(xué)思維的考查，發(fā)揮學(xué)科育人價(jià)值。
一是注重基礎(chǔ)考查、聚焦核心素養(yǎng)。
注重落實(shí)“雙新”理念，注重對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法的考查。考試內(nèi)容覆蓋集合、不等式、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)。全卷設(shè)置了適量的基礎(chǔ)題，甚至只包括單一或兩個(gè)知識點(diǎn)考查的題目，如填空題中的第一題求中位數(shù)，第二題求橢圓的離心率，第三題求數(shù)列的前若干項(xiàng)和等。試卷中接近百分之八十的題目都是基礎(chǔ)題，但知識覆蓋面廣，有效減少了考查的偶然性和片面性，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到積極的導(dǎo)向作用。
整張?jiān)嚲砭劢箶?shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，如選擇題中的三角問題，考生可以借助圖像進(jìn)行分析，比較容易對選項(xiàng)進(jìn)行判斷；解答題中第17題的立體幾何，證明空間直線和平面的位置關(guān)系，考生可運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理，也可借助向量工具進(jìn)行證明。體現(xiàn)了只考查數(shù)學(xué)能力，不故意設(shè)置陷阱的命題理念。
二是減少題量和計(jì)算量，注重思維的考查。
以前的全國新課標(biāo)卷為22道題，現(xiàn)在題目減少到19道題，留給學(xué)生更多的思考時(shí)間和更大的思考空間，注重思維的考查。比如第17題立體幾何題目，數(shù)字設(shè)計(jì)很合理，計(jì)算量小，只要會做，做錯(cuò)的概率非常小，重點(diǎn)考查學(xué)生會不會做，不設(shè)計(jì)計(jì)算陷阱。又如第11題、第14題和第19題，注重對創(chuàng)新意識的考查。沒有出現(xiàn)偏、怪的題目。每個(gè)題目的表述較清晰，題目的長度不長，閱讀量較小。好題目一定是想想才能做的題目，比如第14題看起來無從下手，但如果理解了題目給定的數(shù)學(xué)概念，結(jié)合數(shù)軸加以分析，理解到三個(gè)數(shù)b-a，c-b，1-c表達(dá)的幾何含義，然后分析出取最小值時(shí)僅當(dāng)b-a=c-b=1-c，從而很快求解。這個(gè)題目計(jì)算量小，思維量較大，需要學(xué)生想想才能做，很好地考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
三是巧妙設(shè)置問題，激發(fā)創(chuàng)新思維。
以問題為抓手，創(chuàng)新設(shè)問方式，設(shè)置數(shù)學(xué)新定義，搭建思維平臺，引導(dǎo)考生思考，在思維過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，自主選擇方法和策略去解決問題。如解答題中的第19題，通過新定義，引導(dǎo)考生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)推理與論證過程，考查邏輯推理能力和學(xué)習(xí)能力。
聚焦創(chuàng)新人才選拔，積極引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)
福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高級教師 周裕燕：
2024年適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷遵循中國高考評價(jià)體系規(guī)定的考查內(nèi)容和要求，充分發(fā)揮高考的核心功能，深化必備知識和關(guān)鍵能力的考查。試卷合理控制難度，與以往全國卷相比，減少試題數(shù)量，適度降低計(jì)算量，加強(qiáng)思維考查力度，試題設(shè)計(jì)追求創(chuàng)新，打破固化形式，有利于充分發(fā)揮服務(wù)人才選拔的功能。
一、深化基礎(chǔ)考查，助力“雙減”落地
1）加強(qiáng)基礎(chǔ)性考查。數(shù)學(xué)測試卷落實(shí)中國高考評價(jià)體系中“四翼”的考查要求，要求學(xué)生對高中數(shù)學(xué)基本概念、基本原理深刻理解，強(qiáng)調(diào)靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識、基本技能分析和解決問題，引導(dǎo)教學(xué)回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，助力“雙減”政策落地。
如第7題，以簡單三角恒等變換公式和同角三角函數(shù)關(guān)系為載體，該題題干簡潔，注重基礎(chǔ)，難度適中，考查考生對基礎(chǔ)知識的理解、掌握及靈活應(yīng)用。又如第10題，以復(fù)數(shù)為載體，考查復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)對高中數(shù)學(xué)基本概念、基本運(yùn)算的掌握，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的要求，較好引導(dǎo)復(fù)數(shù)教學(xué)，考查學(xué)生邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。再如第13題，以圓錐和球?yàn)檩d體，考查簡單幾何體的體積和表面積公式等基礎(chǔ)知識。該題背景熟悉，計(jì)算量不大，要求考生能在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理、運(yùn)算，融合考查了空間想象、邏輯思維、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。
2）強(qiáng)化考查知識的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)測試卷強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識的深入理解和綜合應(yīng)用，考查知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生重視對學(xué)科理論本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的深刻理解與充分掌握，引導(dǎo)中學(xué)通過深化基礎(chǔ)知識教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生形成完整的知識體系和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。
如第6題，將軌跡方程、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的距離公式等知識綜合起來，考查直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的距離公式等基礎(chǔ)知識、基本方法的理解和掌握。該題立足基礎(chǔ)知識，計(jì)算量小，強(qiáng)調(diào)知識之間的綜合和應(yīng)用，很好檢測了考生的知識體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有良好導(dǎo)向性，發(fā)揮了服務(wù)選才功能。又如第12題，將集合、不等式、最值等知識有機(jī)結(jié)合起來，不僅考查了考生對集合的表示方法、集合的交集運(yùn)算性質(zhì)、集合間的關(guān)系、絕對值不等式等基礎(chǔ)知識的掌握情況，而且考查了數(shù)學(xué)中重要的分類和數(shù)形結(jié)合思想。該題題面簡潔，內(nèi)涵豐富，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與融合。
3）注重考查關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)測試卷注重考查關(guān)鍵能力，突出理性思維和數(shù)學(xué)探索，考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。
如第8題，以雙曲線為載體，考查雙曲線、向量的基本概念和性質(zhì)。該題深入考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)調(diào)對知識的綜合理解和靈活應(yīng)用的能力。試題符合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，很好引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)。又如第17題，以正方形為上、下底面和以平行四邊形為側(cè)面構(gòu)建平行六面體，著重考查立體幾何中的空間位置關(guān)系和角的度量等基礎(chǔ)知識和基本方法。試題第（2）問既可以用幾何法解答，也可以通過向量坐標(biāo)的方法解答，為考生提供了多種分析問題的思路和解決問題的方法，有效區(qū)分不同層次學(xué)生的思維能力水平，考查了考生的空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，具有較好的選拔功能。
二、突出思維考查，助力創(chuàng)新人才選拔
1）減少試題數(shù)量，強(qiáng)化思維考查。數(shù)學(xué)測試卷不但關(guān)注試卷的整體性，而且很好地處理考試時(shí)間和題量、計(jì)算量的關(guān)系。優(yōu)化題量設(shè)置、合理控制計(jì)算量以及增加思維量，是順應(yīng)數(shù)學(xué)高考改革的要求，是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)、服務(wù)選拔創(chuàng)新人才的需要。與以往高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷相比，數(shù)學(xué)測試卷在試題的數(shù)量上做了調(diào)整，將原來的22道題減少為19道。單項(xiàng)選擇題數(shù)量保持8道，多項(xiàng)選擇題和填空題的數(shù)量均由原來的4道減少為3道，解答題數(shù)量由原來的6道減少為5道。單項(xiàng)選擇題和填空題每道題的分值保持不變，多項(xiàng)選擇題每道題的分值由原來的5分增加為6分，解答題的總分由原來的70分增加到77分。試卷在減少試題數(shù)量的同時(shí)，盡量避免繁難運(yùn)算，保證考生在分析問題的過程中有充裕的時(shí)間進(jìn)行思考，體現(xiàn)了“多思少算”的理念，強(qiáng)調(diào)思維能力的考查。由于題量的減少，給了考生更多展示思維水平的機(jī)會，考生可以從容地思考、試錯(cuò)，使思維能力強(qiáng)的學(xué)生能夠脫穎而出，發(fā)揮了高考的選拔功能，并引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。
2）試題愈加靈活，重視創(chuàng)新思維能力考查。中國高考評價(jià)體系提出了“四翼”的考查要求，其中創(chuàng)新性是為培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維和品質(zhì)的創(chuàng)新型人才而提出的要求。數(shù)學(xué)測試卷通過創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境、題目條件和設(shè)問方式進(jìn)行命題創(chuàng)新，提高試題的靈活度，強(qiáng)調(diào)思維的深刻性和創(chuàng)造性，著力考查學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。
如第14題，結(jié)合不等式考查函數(shù)的最值，試題的呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式比較新穎，考查考生思維的靈活性和創(chuàng)新性。該題有一定的難度，需要考生具備較好的綜合分析能力。試題思維量大，邏輯性強(qiáng)，計(jì)算量合理，注重考查考生的思維過程，突出考查邏輯思維能力，有利于選拔創(chuàng)新人才。又如第18題，以解析幾何中的拋物線為背景，考查拋物線與直線的位置關(guān)系與度量關(guān)系，考查解析幾何的基本思想方法。本題看似常規(guī)，但內(nèi)涵深刻，特別是第（2）問，在如何靈活地應(yīng)用平面幾何的基本思想和基本方法將面積問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化上，試題進(jìn)行了很好的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了創(chuàng)新性的考查要求。試題考查靈活思考問題的能力，突出創(chuàng)新思維，很好達(dá)成通過增加思維強(qiáng)度來選拔拔尖創(chuàng)新人才的考查目標(biāo)。
3）打破固有模式，力求試題創(chuàng)新。數(shù)學(xué)測試卷延續(xù)2023年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)Ⅰ卷的改革思路，調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了題序創(chuàng)新。以往全國高考試卷考查集合和復(fù)數(shù)的試題通常放在單項(xiàng)選擇題的第1或2題，數(shù)學(xué)測試卷把考查集合的試題調(diào)整到第12題的填空題，難度基本不變，考查復(fù)數(shù)的試題調(diào)整到第10題的多項(xiàng)選擇題，難度適當(dāng)增加；近年全國新課標(biāo)I卷解答題保持6道題，考查的題型比較穩(wěn)定，數(shù)學(xué)測試卷打破了原有的模式，將解答題的題數(shù)減少為5道，沒有考查數(shù)列和三角函數(shù)，增加了一道新定義題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)提前到解答題的第一題位置。通過調(diào)整題序、減少解答題數(shù)量、增加新題型，較大力度調(diào)整了試卷的結(jié)構(gòu)，有利于破解僵化的應(yīng)試教育困局，破除“題海戰(zhàn)術(shù)、機(jī)械刷題”的弊端，積極引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。
數(shù)學(xué)測試卷立足“反套路、反刷題”的理念，在考查內(nèi)容上注重試題規(guī)避模式，嘗試試題創(chuàng)新。如第19題，以學(xué)生陌生的離散對數(shù)為背景，創(chuàng)設(shè)新穎的同余運(yùn)算的試題情境，考查考生的閱讀理解能力和思維能力。本題打破了以往固化的內(nèi)容和形式，讓考生耳目一新，要求考生具備很好的文字語言、符號語言的理解能力和創(chuàng)新思維能力。試題極具探索性、創(chuàng)新性，注重考查考生分析問題的思維過程，積極引導(dǎo)教學(xué)重視培養(yǎng)學(xué)生思維能力。該題有很好的檢測和引導(dǎo)功能，引領(lǐng)今后高考改革方向，助力選拔創(chuàng)新人才。
三、重視教考銜接，引導(dǎo)高中教學(xué)
1）引導(dǎo)教學(xué)立足課程標(biāo)準(zhǔn)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》是高考數(shù)學(xué)考查內(nèi)容范圍和考查要求層次的依據(jù)，數(shù)學(xué)測試卷的命題理念、考查的內(nèi)容范圍與課程標(biāo)準(zhǔn)完全吻合。試卷立足課程標(biāo)準(zhǔn)，考查的內(nèi)容依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，很好處理數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系，充分考慮對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)測試卷注重考查學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的熟練掌握和靈活應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)知識的整體性和連貫性，引導(dǎo)教學(xué)要注重內(nèi)容的基礎(chǔ)性和方法的普適性，要避免盲目鉆研套路訓(xùn)練和機(jī)械訓(xùn)練。試卷引導(dǎo)教學(xué)要立足課程標(biāo)準(zhǔn)，要求以課程目標(biāo)和核心素養(yǎng)為指引，以數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能為載體，在學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考與發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。
2）引導(dǎo)教學(xué)用好教材。高中數(shù)學(xué)教材是體現(xiàn)和落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)基本理念和目標(biāo)要求的科學(xué)范本，是高考數(shù)學(xué)命題的重要參考。數(shù)學(xué)測試卷部分試題以教材中的典型試題和素材為基礎(chǔ)，進(jìn)行了改造、重組和引申，考查考生對基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解和靈活應(yīng)用，引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要深入研究教材，回歸教材，用好教材，講清講透基本概念、原理的來龍去脈，避免過度依賴教輔、深陷死記硬背和題海訓(xùn)練；引導(dǎo)教學(xué)立足教材中的概念、公式、定理等重要知識，構(gòu)建知識之間的聯(lián)系，提升學(xué)生理解的深刻性和應(yīng)用的靈活性；引導(dǎo)教學(xué)強(qiáng)化通性通法，淡化特殊技巧，要引導(dǎo)學(xué)生善于從繁雜的問題中洞悉其本質(zhì)，把握一般規(guī)律與方法，注重滲透數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)；引導(dǎo)教學(xué)立足教材中的典型試題，深挖內(nèi)涵，注重一題多解、一題多變，注重拓展和歸納，開闊學(xué)生分析問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為培育學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。
3）引導(dǎo)教學(xué)回歸育人本位。數(shù)學(xué)測試卷通過命題創(chuàng)新，提高試題的靈活度，進(jìn)一步豐富試卷的內(nèi)容與形式，優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，突出考查考生的理性思維和探究能力，切實(shí)改變機(jī)械刷題、套路訓(xùn)練的現(xiàn)象，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的思維過程，積極引導(dǎo)教學(xué)回歸育人本位。機(jī)械刷題、重復(fù)訓(xùn)練的應(yīng)試做法已經(jīng)不能適應(yīng)高考改革的要求，無法匹配新高考對關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查要求。數(shù)學(xué)測試卷打破了固化的定勢思維和應(yīng)試慣性，引導(dǎo)教學(xué)重視情境創(chuàng)設(shè)，關(guān)注知識的生成過程，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、探究，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力；引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注思維的深刻性，在學(xué)生理解和掌握“四基”后，通過問題引導(dǎo)、點(diǎn)撥啟發(fā)和深化提升，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會思考、拓展思維，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中做到“舉一反三”。
總之，2024年適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷是高考內(nèi)容改革的風(fēng)向標(biāo)，發(fā)揮著育人功能和正向積極的導(dǎo)向作用。試卷踐行中國高考評價(jià)體系提出的命題理念，嚴(yán)格依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，并按照課程標(biāo)準(zhǔn)提出的處理好考試時(shí)間和題量的關(guān)系，給學(xué)生充足的思考時(shí)間，適度增加試題的思維量等命題原則的要求，助推高考內(nèi)容和高中育人方式改革。試卷充分發(fā)揮了檢測和導(dǎo)向的作用，有效引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔。
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